Materi 4 Turunan fungsi

Hay guyss, bertemu lagi kitaaa😄 dimateri 4 ini kita akan membahas tentang turunan fungsi. Ada yg masih ingat? Pasti ada dongg,, klo yg blm ingat mari kita pelajari pelajaran ini😊 selamat membacaaaaa:)

A. Definisi Turunan Fungsi

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

B. Perbedaan Turunan Diferensial dan Derivature

Seharusnya dari keterangan di atas, sudah jelas bahwa turunan dan diferensial itu berbeda. Turunan adalah hasil pembagian antara 2 buah diferensial.Sebagai contoh,Jika kita mengatakan bahwa "turunan dari adalah ", maka pernyataan itu adalah BENAR, karena . Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa "diferensial dari adalah ", maka pernyataan itu adalah SALAH. Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: "diferensial dari adalah dikalikan dengan diferensial x" atau dapat ditulis begini:

Lalu, kenapa dinamakan diferensial?Ingat-ingat kembali rumus turunan: Diferensial adalah selisih variabel (Ingat "difference" dalam bahasa inggris artinya "beda", bukan?).. Sekadar mengingatkan, di rumus di atas, maka x adalah variabel bebas sedangkan y adalah variabel terikat.. Sebenarnya, bisa saja rumusnya begini:D. RUMUS UMUM TURUNAN

Di atas maka y adalah variabel bebas sedangkan nilai x terikat terhadap variabel y.Jika , maka

$f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$
C. KAIDAH TURUNAN KONSTANTA

Untuk sifat pertama turunan, yaitu aturan fungsi konstanta, kita buktikan dengan menggunakan Definisi Turunan seperti pada tulisan diatas. Dan untuk pembuktian sifat lainnya juga menggunakan definisi tersebut.

Sifat 1.

Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f'(x) = 0 yakni Dx (k) = 0
$f'(x) = \lim \sb{h \to 0} \dfrac{f(x+h)- f(x)}{h}$
      $= \lim \sb{h \to 0} \dfrac{k - k}{h}$
      $= \lim \sb{h \to 0} 0 = 0$

Jika $f(x)=x^{n}$ maka $f'(x)\;=\;n \cdot x^{n-1}$ , dengan n merupakan bilangan bulat positif.

Bukti:   $f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$    $= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$    $= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^{n}+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^{2}+...+nxh^{n-1}+h^{n}-x^{n}}{h}$    $= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right]}{h}$    $= \lim_{h \rightarrow 0} \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right]$    $= nx^{n-1}$
Contoh turunan pertama dari fungsi $y=x^{9}$ adalah …
Pembahasan:
Penggunaan teorema 3 untuk mencari persamaan $y=x^{9}$ maka turunan pertamanya adalah   $\frac{d}{dx}x^{9}=9 \cdot x^{9-1}= 9x^{8}$

E. TURUNAN PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN DAN PEMBAGIAN

METODE

Turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v

Misalnya anda menemukan contoh soal seperti berikut ini. Carilah f ′(x) jikaf(x) = 3x3 + 7x2. Contoh soal tersebut merupakan salah satu contoh turunan fungsi yang berbentuk y = u + v. Bagaimana cara mencari turunan pertama dari soal tersebut tanpa menggunkan konsep fungsi limit?

Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x). Begitu juga bila f(x) = u(x) – v(x), maka f ′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi, jikay = u ±v, maka y' = u' ± v'. Oleh karena itu, dengan menggunakan konsep turunan, maka

f(x) = 3x3 + 7x2

f′(x) = 9x2 + 14x

Nah itu teorinya, agar lebih jelasnya, coba anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini

Contoh Soal 1

Carilah f ′(x) jika f(x) = 3x2 + 7x

Penyelesaian:

f(x) = 3x2 + 7x

Misal:

u = 3x2 → u' = 3⋅2⋅x2 – 1 = 6x1 = 6x

v = 7x → v' = 7⋅1⋅x1 – 1 = 7x0 = 7⋅1 = 7

Jadi jika f(x) = u + v, maka f ′(x) = u' + v' = 6x + 7

Contoh Soal 2

Carilah f ′(x) jika f(x) = –x3 – 8x2

Penyelesaian:

f(x) = –x3 – 8x2

Misal:

u = –x3 → u' = –3x3 – 1 = –3x2

v = 8x2 → v' = 8 ⋅ 2⋅ x2 – 1 = 16 x1 = 16x

Jadi jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u' – v' = –3x2 – 16x

Turunan fungsi yang berbentuk y = u⋅ v

Pembahasan di atas sudah dijelaskan penjumlahan atau pengurangan dari turunan fungsi, maka sekarang kita lanjut dengan turunan fungsi dalam bentuk perkalian atau perkalian turunan fungsi. Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)(5x + 3). Apakah caranya sama seperti penjumlahan atau pengurangan turunan fungsi?

Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x)⋅v(x) + u(x) ⋅ v'(x). Jadi jika y = u⋅ v, maka y' = u' v + u v'.

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1

Carilah y′ jika y = x(5x + 3)

Penyelesaian:

Cara 1:

y = x (5x + 3)

y = 5x2 + 3x

y' = 5 ⋅ 2x2 – 1 + 3 ⋅1 x1 – 1

y' = 10x1 + 3 ⋅ x0

y' = 10x + 3 ⋅ 1

y' = 10x + 3

Cara 2:

y = x(5x + 3)

misal:

u = x → u' = 1

v = 5x + 3 → v' = 5 + 0 = 5

Jadi jika y = u⋅ v, maka

y' = u' v + u v'

y' = 1 (5x + 3) + x (5)

y' = 5x + 3 + 5x

y' = 10x + 3

Contoh soal 2

Carilah y ′ jika y = 3(2x + 1) x2

Penyelesaian:

Cara 1:

y = 3(2x + 1) x2

y = 6x3 + 3x2

y' = 6 ⋅ 3x3 – 1 + 3 ⋅2 x2 – 1

y' = 18x2 + 6x

Cara 2:

y = 3(2x + 1) x2

y = (2x + 1) 3x2

misal:

u = 2x + 1 → u' = 2

v = 3x2 → v' = 6x

Jadi jika y = u⋅ v, maka

y' = u' v + u v'

y' = 2 ⋅ 3x2 + (2x + 1) 6x

y' = 6x2 + 12x2 + 6x

y' = 18x2 + 6x

Turunan fungsi yang berbentuk y = u/v

Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)/(5x + 3). Apakah caranya sama seperti perkalian turunan fungsi? Jika y = f(x) = u(x)/v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = (u'(x)⋅ v(x) - u(x) ⋅ v'(x))/ v(x)2. Jadi jika y = u/v, maka y' = (u'v + uv')/v2.

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi

Carilah turunan pertama dari y = (3x+1)/(4x-3)

Penyelesaian:

y = (3x+1)/(4x-3)

misal:

u = 3x – 2 → u' = 3

v = 5x + 6 → v' = 5

Jika y = uv, maka

y' = (u′ v - uv′)/v2

y' = (3(5x+ 6) - (3x - 2)5)/(5x+6)2

y' = ((15x+ 18) - (15x - 10))/(5x+6)2

y' = 28/(5x+6)2

Turunan fungsi yang berbentuk y = un

Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)12. Bagaiman cara mencari turunan fungsi seperti soal tersebut? Jika y = f(x) = u(x)n, di mana turunan dari u(x) adalah u'(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ′(x) = n.u′(x).u(x)n-1⋅Jadi jika y = un, maka y' = n.u'.un-1

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi Pangkat

Carilah turunan pertama dari y = (2 + 5x2)5

Penyelesaian:

y = (2 + 5x2)5

misal :

u = 2 + 5x2 → u' = 10x

Jika y = un, maka

y' = n. u'.un – 1

= 5. 10x (2 + 5x2)5 – 1 ⋅

= 50x(2 + 5x2)4

Jadi, Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u' turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan, berdasarkan pembahasan tersebut dapat disimpulkan beberapa rumus untuk turunan fungsi sebagai berikut.

Rumus-rumus di dalam kotak tersebut dapat dibuktikan dengan menggunkan konsep limit fungsi. Silahkan anda buktikan sendiri rumus-rumus tersebut.

Fungsi Trigonometri
Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:

f(x) = 3 cos x

f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x

Untuk x = ^π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(^π/2) = −3 sin ( ^π/2) = −3 (1) = −3

Cari Blog Ini

IrnaDm's blog