Materi 2 Hubungan dan Fungsi

Hallo Teman-teman kita bertemu lagi. 
Sekarang kita mau membicarakan tentang relasi dan fungsi nih, materi relasi dan fungsi ini sepertinya sudah tidak asing lagi di telinga kita ya teman?
Kali ini relasi dan fungsi kita akan melaju lebih dalam lagi.

"Bab ini berisi materi mengenai cara menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi; menyatakan suatu fungsi dengan notasi; menghitung nilai fungsi; menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui; cara menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi; serta cara menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius."

A. Relasi
1. Pengertian Relasi
Dalam kehidupan sehari-hari, kamu pasti pernah mendengar istilah relasi. Secara umum, relasi berarti hubungan. Di dalam matematika, relasi memiliki pengertian yang lebih khusus. Agar kamu lebih memahami pengertian relasi, pelajari uraian berikut. Misalkan Eva, Roni, Tia, dan Dani diminta untuk menyebutkan warna kesukaannya masing-masing. Hasilnya adalah sebagai berikut:

• Eva menyukai warna merah

• Roni menyukai warna hitam

• Tia menyukai warna merah

• Dani menyukai warna biru

Pada uraian tersebut, terdapat dua himpunan, yaitu himpunan anak dan himpunan warna. Misalkan A adalah himpunan anak sehingga A = {Eva, Roni, Tia, Dani} dan B adalah himpunan warna sehingga B = {merah, hitam, biru}. Dengan demikian, relasi atau hubungan himpunan A dan himpunan B dapat digambarkan dengan diagram seperti tampak pada Gambar 2.2 .

Relasi himpunan A dan B pada Gambar 2.2 adalah “menyukai warna” Eva dipasangkan dengan merah, artinya Eva menyukai warna merah. Roni dipasangkan dengan hitam, artinya Roni menyukai warna hitam. Tia dipasangkan dengan merah, artinya Tia menyukai warna merah. Dani dipasangkan dengan biru, artinya Dani menyukai warna biru. Dari uraian tersebut, kamu akan menemukan pernyataan berikut :

2. Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.

a. Diagram Panah
Perhatikan kembali Gambar 2.2 . Relasi antara himpunan A dan himpunan B dinyatakan oleh arah panah. Oleh karena itu, diagram tersebut dinamakan diagram panah.
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh berikut :
Perhatikan diagram panah berikut:

Tentukan hobi masing-masing anak.
Jawab :
• Hasan dipasangkan dengan membaca, berarti Hasan hobi membaca.

• Maria tidak dipasangkan dengan membaca, memasak, atau olahraga. Jadi, hobi Maria bukanlah membaca, memasak, atau olahraga.

• Joni dipasangkan dengan membaca dan olahraga, berarti Joni hobi membaca dan berolahraga.

• Zahra dipasangkan dengan memasak, berarti Zahra hobi memasak.

b. Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi “menyukai warna” pada Gambar 2.2 dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Anggota-anggota himpunan A = {Eva, Roni, Tia, Dani} dipasangkan dengan anggota-anggota himpunan B = {merah, hitam, biru}, sebagai berikut.

Pernyataan “Eva menyukai warna merah” ditulis (Eva, merah).

Pernyataan “Roni menyukai warna hitam” ditulis (Roni, hitam).

Pernyataan “Tia menyukai warna merah” ditulis (Tia, merah).

Pernyataan “Dani menyukai warna biru” ditulis (Dani, biru).

Himpunan pasangan berurutan untuk relasi ini ditulis: {(Eva, merah), (Roni, hitam), (Tia, merah), (Dani, biru)}.

Jadi, relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B

dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x ∈ A dan y ∈ B

contoh soal:

Diketahui dua himpunan bilangan P = {0, 2, 4, 6, 8} dan Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Jika relasi himpunan P ke himpunan Q adalah “dua kali dari”, tentukan himpunan pasangan berurutan untuk relasi tersebut.

Jawab :

0 ∈ A dipasangkan dengan 0 ∈ B karena 0 = 0 × 2, ditulis (0, 0)

2 ∈ A dipasangkan dengan 1 ∈ B karena 2 = 1 × 2, ditulis (2, 1)

4 ∈ A dipasangkan dengan 2 ∈ B karena 4 = 2 × 2, ditulis (4, 2)

6 ∈ A dipasangkan dengan 3 ∈ B karena 6 = 3 × 2, ditulis (6, 3)

8 ∈ A dipasangkan dengan 4 ∈ B karena 8 = 4 × 2, ditulis (8, 4)

Jadi, himpunan pasangan berurutan untuk relasi “dua kali dari” adalah {(0, 0), (2, 1),

(4, 2), (6, 3), (8, 4)}

c. Diagram Cartesius

Perhatikan kembali Gambar 2.2 . Relasi pada gambar tersebut dapat dinyatakan dalam diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan A sebagai himpunan pertama ditempatkan pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B pada sumbu tegak. Setiap anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B, diberi tanda noktah (•). Untuk lebih jelasnya, perhatikan diagram Cartesius yang menunjukkan relasi “menyukai warna” berikut.

Contoh soal :

Diketahui dua himpunan bilangan A = {4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan A ke himpunan B adalah “lebih dari”, gambarkan diagram Cartesiusnya

Jawab :Diketahui: A = {4, 5, 6, 7} ; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}Relasi himpunan A ke himpunan B adalah“lebih dari”.Jadi, diagramnya adalah sebagai berikut :

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Dalam mengerjakan soal relasi dapat dikerjakan menggunakan tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
Contoh Soal Lain : 

A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.

keterangan: Buyung suka IPS dan kesenian, Doni suka Ketrampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.

Jawaban dengan tiga metode:

a. Dengan metode diagram panah

b. Dengan metode diagram Cartesius

c. Dengan metode himpunan pasangan berurutan

{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}

B. Fungsi

Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam

matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) yang gambarnya

terlihat di atas digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara

dua himpunan.

Mengingat konsep fungsi menyangkut hubungan atau kaitan  dari dua himpunan, maka

disini kita awali dulu pembicaraan kita mengenai fungsi dengan hubungan atau relasi

antara dua himpunan.

Perhatikan diagram dibawah ini:

Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi sering juga disebut dengan istilah pemetaan

(mapping) didefinisikan sebagai berikut :

Definisi:  Suatu fungsi f dari himpunan A ke

himpunan B adalah suatu relasi yang

memasangkan setiap elemen dari A secara

tunggal,  dengan elemen pada B.

Ditulis f : A → B dibaca “fungsi f pemetaan A ke dalam / into B”

Apabila f memetakan suatu elemen x ∈A ke suatu y ∈ B dikatakan bahwa y adalah peta
dari x oleh f dan peta ini dinyatakan dengan notasi f(x), dan biasa ditulis dengan f:x →

f(x), sedangkan x biasa disebut prapeta dari f(x).

Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f , sedangkan himpunan B

disebut daerah kawan (kodomain) sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan

daerah hasil (range) dari fungsi f tersebut.

Contoh 1:

Diagram sebagaimana pada G.b. 2.4 di atas adalah fungsi karena pertama, terdapat relasi

(yang melibatkan dua himpunan yakni A dan B) dan kedua, pemasangan setiap elemen A

adalah secara tunggal.

Contoh 2

Diagram di samping bukan merupakan fungsi

karena ada elemen A yang dipasangkan tidak

secara tunggal dengan elemen pada B.

Contoh :

Diketahui A = {x | -3 ≤ x < 3, x ∈ R} dan suatu fungsi f: A → R

Ditentukan oleh rumus f(x) = x2 + 1

a. Carilah f(-1), f(0) dan prapeta dari 5

b. Dengan melukis grafik, tentukan daerah hasil dari fungsi f.

c. Jelaskan bahwa f adalah suatu fungsi.

Jawab:

Dibuat grafik y= x2 + 1

f(-3) = (-3)2 + 1 =10

f(3) = (3)2 + 1 = 10

titik balik (0,1)

Jadi daerah hasil dari fungsi f adalah: R = { y | 1 < y < 10, y ∈ R }, karena nilai f(x) = y

terletak pada interval tersebut sebagaimana terlihat pada sumbu y.

c. Karena f suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A (sumbu x) dipasangkan

secara tunggal maka f merupakan fungsi.

C.Sifat Fungsi

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing

himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat

fungsi yakni sebagai berikut :

1. Injektif (Satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu

(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen

yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah

fungsi injektif apabila a ≠  a’ berakibat f(a) ≠  f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)

maka akibatnya a = a’.

Contoh:

1. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab

f(-2) = f(2).


 2.

Adapun fungsi pada A = {bilangan asli}  yang

didefinisikan dengan f(x) = 2x  adalah fungsi

satu-satu, sebab kelipatan  dua dari setiap dua

bilangan yang berlainan adalah berlainan pula.

 

2. Surjektif (Onto)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil  f(A)

dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) c B. Apabila f(A) = B, yang

berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di

A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”

Contoh:

1. Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2    bukan fungsi yang  onto

karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut

2. Gb. 2.11

Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A

→ B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah

suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil f adalah

sama dengan kodomain dari f (himpunan B).

3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi  yang

injektif dan  surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A

dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

Contoh:

 1) 

Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B =

{p,q, r} yang didefinisikan  sebagai diagram di

samping adalah suatu fungsi yang bijektif.

2) Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di

dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena  tidak ada satu

kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.

D.Jenis – jenis Fungsi

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D,

maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka

yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk  fungsi-fungsi pada R

kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.

a.  Fungsi Konstan

b.  Fungsi Identitas

c.  Fungsi Linear

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a

d.  Fungsi Kuadrat

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R

dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

e.  Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) =Q(x)  P(x) dengan P(x) dan Q(x)

adalah suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0.

Fungsi R→R yang didefinisikan sebagai: f : x→ x disebut fungsi identitas.

Latihan 1 :

1. Diantara fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif,

serta bijektif? Berilah penjelasannya!

2. Diketahui himpunan D = {1,2,3,4,5}. Suatu relasi pada D ini, manakah yang berupa

pemetaan dan berikan alasannya !

a.R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}

b.R = {(1,2),(2,3),(2,4),(4,5),(5,1)}

c.R = {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2)}

3.Suatu fungsi f: R→R ditentukan oleh f(x) = x2 + 2

a.Tentukan f(-1), f(a), dan f(1).

b.Tentukan a jika f(a) = 27

c.Anggota manakah dari daerah asal yang mempunyai peta 18 ?

4.Manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif, atau bijektif dari fungsi dengan

domain {1, 2, 3, 4}, yang didefinisikan sebagai berikut?

a. R = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3}

c. R = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4}

d. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 4); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5. Misalkan A = [–1, 1] = {x|–1≤ x ≤ 1, ∈ R}. Apakah fungsi di bawah ini surjektif?

a. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x c. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x2

b. f: A → A ; didefinisikan f(x) = 2x – 1 d. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x3

Sekian Penjelasan dari saya semoga bermanfaat 😊 Terimakasih ;)