Materi 1 Sistem bilangan Real dan Himpunan

SISTEM BILANGAN REAL DAN HIMPUNAN

BILANGAN REAL            ⏵BILANGAN RASIONAL          >bilangan bulat

            ⏵BILANGAN IRRASIONAL      >bilangan pecahan

·         Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri.

Contohnya :

0, 1, 2, ½, 4/7, 55/7, √2, √3, √5, .... dan seterusnya.

·         Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua buah bilangan asli. (integer)

·         Asli postif (positif interger) 1, 2, 3.

·         Asli negatif (negative integer) .. -3, -2, -1..        

·         Bilangan bulat (set of natural number) dapat dinyatakan sebagai perbandingan 

             (ratio) dua bilangan seperti 1/3  4/6.. atau bilangan pecahan negative.

·         Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat ditulis dalam bentuk perbandingan  dua buah bilangan bulat, dinamakan bilangan irrasional (irrasional number). Misal yang  mempunyai decimal tak berkesudahan (nonterminating decimal)

·         Himpunan (sets) adalah segala koleksi benda benda tertentu yang dianggap satu kesatuan atau dengan kata lain adalah kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat di definisikan dengan jelas.

·         General                       1.  Himpunan Kosong 

¨      Himpunan yang tidak mempunyai satu anggota pun.

¨      Dilambangkan dengan notasi {} atau

2. Himpunan Universal

¨    Dinamakan “HIMPUNAN UNIVERSAL” atau “HIMPUNAN” saja

¨      Dilambangkan dengan notasi U

¨      Kecuali dinyatakan lain. Setiap himpunan tertentu dianggap terdiri dari beberapa himpunan bagian yang masing masing mempunyai anggota

·         General (others)

·         Obyek obyek yang membentuk suatu himpunan disebut anggota anggota atau anggota saja

·         Obyek obyek suatu himpunan bisa berupa orang orang , hewan hewan, benda benda , angka angka tertentu dan lain lain.

·         Suatu himpunan dilambangkan dengan huruf besar (A, B,C,D..)

·         Sedangkan ANGGOTA dilambangkan dengan huruf kecil(a,b,c,d ...)

·         Notasi (penulisan matematis)

1.      P∈A ; obyek P anggota/elemen himpunan A

2.      A⊂B ; himpunan A merupakan himpunan B

3.      A=B ; himpunan A sama dengan B

4.      Pernyataan ingkar”/”

o   P∉A ; obyek P bukan merupakan anggota himp.A

o   A⊄B ; himp. A bukan merupakan himp. Bagian dari himp. B

o   A≠B ; himp. A tidak sama dengan himp. B

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

·         Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

B = {apel,jeruk,manga, pisang}

A = {a,b,c,. . . , y, z }

N = {1, 2, 3, 4, . . .}

·         Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

·         Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

·         Penyajian Himpunan

a.       Pendaftaran (Tabular-Form/Enumartion) yaitu dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut dalam kurang kurawal. Ex: Himpunan A = {jakarta, medan...}

b.      Pencirian (Set-Builder Form/descriptiom) yaitu dengan menuliskan sifat mengenai elemen himpunan tersebut. Ex : Himpunan S = { X | X adalah bilangan genap}

HUKUM DAN TEORI HIMPUNAN

·         Himpunan berhingga (Finite Set)  VS Himpunan Tak berhingga (Infinite Set)

·         Pencatatan anggota anggota yang sama, dihitung sekali

·         Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan hampa atau kosong. Dinyatakan dengan simbol

·         Himpunan A dan B dikatakan sama, A = B bila mereka mempunyai ordo dan anggota anggota yang sama.

·         Dua himpunan disebut saling lepas (saling asing/disjoint) bila tidak mempunyai anggota bersama.

DIAGRAM VENN

      adalah suatu cara menyatakan himpunan dengan menggunakan gambar. Cara ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang berasal dari inggris. Matematikawan tersebut adalah john venn. Diagram venn dapat diartikan sebagai sebuah diagram yang didalamnya terdapat seluruh kemungkinan

Hubungan logika serta hipotesis dari sebuah himpunan benda ataupun objek. Diagram Venn merupakan gambar himpunan yang digunakan untuk menyatakan hubungan beberapa himpunan.

Jika anggota himpunan A sama dengan anggota B ditulis A=B

Jika himpunan A tidak ada yang sama dengan anggota himpunan B. Ditulis A  B atau A

Operasi irisan (inter section), jika ada anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B. Ditulis A ∩ B

                             

Jika semua anggota himpunan B adalah anggota himpunan A. Ditulis B c A

CONTOH SOAL: 

Dari beberapa anak remaja diketahui 25 orang suka minum susu, 20 orang suka minum kopi dan 12 orang suka susu dan kopi. Dari data di atas jawablah pertanyaan di bawah ini.

a. jumlah semua anak remaja
b. jumlah remaja yang suka susu saja
c. jumlah remaja yang suka kopi saja
d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya

Jawab:

Untuk menjawab soal tersebut Anda harus membuat data tersebut menjadi bentuk diagram ven. Jika digambarkan maka bentuk diagram vennya menjadi seperti gambar berikut:

Dari diagram venn di atas maka

a. jumlah semua anak remaja = 33 orang
b. jumlah remaja yang suka susu saja = 13  orang
c. jumlah remaja yang suka kopi saja = 8 orang
d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya = 12 orang