Materi 3 Limit & Fungsi

Hello guys, Ketemu lagi nih kita. kali ini kita akan membahas tentang limit dan fungsi. Masih pada inget kan? kalo ada yang lupa yuk kita baca artikel ini. Selamat membaca semuanya, semoga membantu:) 

1. Definisi dan Pengertian Limit

1.1 Definisi Limit Fungsi Menurut KBBI, Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. [1] Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. [2] Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.[2]

1.2. Definisi Limit

Berikut adalah definisi limit menurut Austin Louis Cauchy:

Sebuah fungsi f(x) mempunyai jika dan hanya jika untuk sembarang bilangan real maka terdapat bilangan real sedemikian hingga memenuhi:

maka

1.3. Pengertian Limit

Supaya lebih memahami pengertian limit, berikut disajikan contoh:

Perhatikan fungsi aljabar . Agar fungsi f(x) terdefinisi, nilai x dibatasi yaitu x ≠ 1. Jika batas nilai x tersebut didekati, akan diperoleh hasil bahwa nilai fungsi mendekati 3 seperti terlihat pada tabel berikut:

x	0,99	0,999	0,9999	0,99999	…	1	…	1,00001	1,0001	1,001
	2,9701	2,997001	2997	2,99997	…	-	…	3,00003	3,0003	3,003001

Pada kasus seperti di atas dikatakan limit untuk x mendekati 1 adalah 3, ditulis: .

2. Limit Fungsi

artinya nilai x mendekati nilai a (tetapi x ≠ a) maka f(x) mendekati nilai L.

2.1. Sifat-Sifat Limit Fungsi

1. 
2. 
3. 
4. 
5. Jika dan maka:
6. 
7. 
8. , untuk
9. Jika maka: untuk L ≠ 0
10. 

2.2. Menentukan Nilai dari Suatu

1. Jika f(a) = k maka
2. Jika maka
3. Jika maka
4. Jika atau bentuk tertentu maka sederhanakan bentuk f(x) sehingga diperoleh bentuk f(a) seperti (1), (2), dan (3).

2.3. Limit Fungsi Tak Terhingga

1. 
2. Jika pangkat tertinggi f(x) sama dengan pangkat tertinggi g(x)
3. Jika pangkat tertinggi f(x) lebih kecil dari pangkat tertinggi g(x)
4. Jika pangkat tertinggi f(x) lebih besar dari pangkat tertinggi g(x)

3. Limit Fungsi Aljabar

3.1. Limit Fungsi Aljabar Berhingga

1. Jika f(a)=C, maka nilai
2. Jika , maka nilai
3. Jika , maka nilai disederhanakan dulu menjadi bentuk 1, 2, atau 3

3.2. Limit Fungsi Aljabar Tak Terhingga

Menentukan nilai atau :

1. Jika n = m maka
2. Jika n > m maka
3. Jka n < m maka

4. Limit Fungsi Trigonometri

Untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri digunakan rumus-rumus berikut:

1. 
2. 
3. 
4. 

Kemudian, secara umum dapat menggunakan langkah-langkah cepat seperti di bawah ini:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Jika terdapat fungsi cos maka ubahlah ke dalam bentuk sebagai berikut:

1. cos x diubah menjadi
2. diubah menjadi

Berikut adalah sifat-sifat teorema limit fungsi geometri lainnya:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

5. Kontinuitas

Suatu fungsi kontinu di x = a jika:

1. f(a) real
2. 
3. 

6.  Substitusi langsung
Contoh:

7.  Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
 Contoh:

Ingat:

(a² – b²) = (a – b)(a + b)

(a³ + b³) = (a + b)(a² – ab + b²)

(a³ – b³) = (a – b)(a² + ab + b²)

8.Dikali sekawan (jika ada bentuk akar

Contoh:

Fungsi pada garis bilangan riil

Bila f : R → {\displaystyle \rightarrow } R terdefinisi pada garis bilangan riil, dan p, L ∈ {\displaystyle \in } R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai:

lim x → p f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}

jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x - p|< δ mengimplikasikan bahwa |f (x) - L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f (p)

Limit searah

Limit saat: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Maka, limit x → x₀ tidak ada.

Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

lim x → p + f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}

atau

lim x → p − f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.

Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L| < ε pada saat 0 < x - p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ.

Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

Limit fungsi pada ketakhinggaan

Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.

Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan sebagai:

lim x → ∞ f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}

jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) - L| < ε bilamana x > S.

Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh

lim x → ∞ f ( x ) = ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}

jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x > S. 

lim x → 0 x sin ⁡ x = 1 lim x → 0 sin ⁡ x x = 1 lim x → ∞ x sin ⁡ ( 1 x ) = 1 lim x → 0 a x sin ⁡ b x = a b lim x → 0 sin ⁡ a x b x = a b lim x → ∞ a x m + b p x n + q = a p , m = n lim x → ∞ a x 2 + b x + c − p x 2 + q x + r = b − q 2 a , a = p lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e lim x → ∞ ( 1 + a x ) b x = e a b lim x → 0 ( 1 + a x ) b x = e a b {\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {x}{\sin x}}&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin x}{x}}&=1\\\lim \limits _{x\to \infty }&x\sin({\frac {1}{x}})&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {ax}{\sin bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin ax}{bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\frac {ax^{m}+b}{px^{n}+q}}&={\frac {a}{p}},\qquad m=n\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-{\sqrt {px^{2}+qx+r}}&={\frac {b-q}{2{\sqrt {a}}}},\qquad a=p\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {1}{x}})^{x}&=e\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+x)^{\frac {1}{x}}&=e\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {a}{x}})^{bx}&=e^{ab}\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+ax)^{\frac {b}{x}}&=e^{ab}\\\end{matrix}}}

CONTOH SOAL:
1.

Jawab :